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導(dǎo)讀：
數(shù)學(xué)提高之從數(shù)列遞推到N球配對(duì)問(wèn)題
本篇給出求簡(jiǎn)單遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的通用解法，并由此思路解一個(gè)老題
以下記A(N)為數(shù)列第N項(xiàng)
1、已知A1=1，A(N)=2A(N-1)+1，求數(shù)列通項(xiàng)公式
解：由題意，A(N)+1=2[A(N-1)+1]
即 A(N)+1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
因此 A(N)+1=2^N
數(shù)列通項(xiàng)公式為 A(N)=2^N-1
2、通用算法
已知A1=M，A(N)=P*A(N-1)+Q，P《》1，求數(shù)列通項(xiàng)公式
解：設(shè) A(N)+X=P*[A(N-1)+X]
解得 X=Q/(P-1)
因此 A(N)+Q/(P-1)是以A1+Q/(P-1)為首項(xiàng)，P為公比的等比數(shù)列
由此可算出A(N)通項(xiàng)公式
3、已知A1和A2， A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2)，求數(shù)列通項(xiàng)公式
解題思路：設(shè) A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)]
代入原式可得出兩組解，對(duì)兩組X，Y分別求出
A(N)+X*A(N-1)的通項(xiàng)公式
再解二元一次方程得出A(N)
注：可能只有一組解，但另有解決辦法。
4、現(xiàn)在用上面的思路來(lái)解決一個(gè)著名的問(wèn)題：
N個(gè)球和N個(gè)盒子分別編號(hào)從1到N，N個(gè)球各放入一個(gè)盒子，求沒(méi)有球與盒子編號(hào)相同的放法總數(shù)。
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